Por: ALEJANDRO VILLAMOR IGLESIAS. 21/01/2023
Las últimas décadas del siglo XIX, junto con las primeras del XX, fueron testigo de un intenso debate acerca de las bases últimas de la matemática. La “crisis de fundamentos” de esta, producida entre 1905 y 1930 aproximadamente, tuvo su inicio en el siglo XIX debido a varios hechos significativos. Uno de ellos está vinculado al quinto axioma de la geometría euclídea. A lo largo de los siglos, numerosos matemáticos trataron de demostrar infructuosamente que este postulado era demostrable a partir de los otros cuatro. En otras palabras, intentaron probar que era un teorema. Finalmente, con independencia unos de otros, Gauss, Lobachevski y Bolyai demostraron que esto no es posible. De este modo surgieron nuevas geometrías allende la supuestamente autoevidente geometría clásica de Euclides. En el plano de la aritmética, el contraintuitivo tratamiento del infinito por parte de Cantor, o los trabajos de Weierstrass sobre los límites, acentuaron una crisis de naturaleza filosófica sobre la matemática.
En este debate se vieron involucrados matemáticos de la talla de Henry Poincaré o David Hilbert, así como filósofos de primera categoría como Gottlob Frege o Bertrand Russell. Todos ellos procuraron cimentar la verdad o falsedad de las proposiciones matemáticas sobre los pilares de algún criterio de certeza sólido.
Frege se propuso fundamentar la matemática a través de la aritmética y, más en concreto, mediante la edificación de una lógica formal que diese cuenta de ella. Sirviéndose de la teoría de conjuntos “ingenua” de Cantor, Frege sostuvo que las verdades de la lógica son analíticas, autoevidentes. A esto hay que añadir lo siguiente: en el XIX Peano había conseguido obtener una serie de axiomas que formulan en un lenguaje natural el conocimiento aritmético disponible. Frege pensó que, si conseguía demostrar esos axiomas a partir de verdades lógicas, conseguiría fundamentar la matemática. Esta demostración debía de ser totalmente clara, por lo que se sirve de un nuevo lenguaje formal que evita la ambigüedad de los naturales. En este contexto nace la lógica formal.
Bertrand Russell chafó el proyecto fregeano al identificar la paradoja que se sigue del uso por parte de Frege de los conjuntos. Esta contradicción, aceptada rápidamente y de forma honesta por Frege, precipitó la crisis de fundamentos de la matemática acerca de su propia naturaleza. Ni el propio Russell ni David Hilbert se abandonaron al escepticismo. A partir de los escombros del edificio fregeano trataron de edificar un nuevo esqueleto que, en términos formales, diese cuenta de la evidencia matemática sin incurrir en contradicciones. En particular, Hilbert procuró elaborar un sistema axiomático que permitiera deducir todos los enunciados de la aritmética (que fuese completo) sin contradicción (que fuese consistente). Empero, tal y como Russell había hecho con Frege, un lógico llamado Kurt Gödel demostrará que la empresa de Hilbert, así como la del propio Russell, estaban destinadas al fracaso.
En 1931 se publica la demostración de dos teoremas conocidos como los Teoremas de incompletitud de Gödel. Esta demostración echó por tierra la posibilidad de fundamentar la matemática a través de un sistema formal. Una presentación mínimamente rigurosa de los teoremas excede las posibilidades de este escrito. Sin embargo, conviene remarcar qué fue lo que demostró Gödel con sus teoremas.
El sistema axiomático formal anhelado por Hilbert debía cumplir varias condiciones. En primer lugar, tendría que ser recursivo. Esto es, en un número finito de pasos debería poder demostrar que cualquier enunciado x pertenece o no a los axiomas del sistema. Por ejemplo, la geometría euclídea es claramente recursiva. El sistema también debería ser completo. Lo cual quiere decir que para todo argumento válido tendría que haber una prueba. En otras palabras, desde el propio sistema se tiene que poder responder a cualquier pregunta que se haga dentro del sistema, determinando si un enunciado es demostrable, lo que lo convierte en un teorema, o refutable. Finalmente, el sistema debería ser consistente, lo cual quiere decir que no puede tener contradicciones. No puede permitir demostrar un enunciado y su opuesto.
Lo que Gödel demuestra en sus teoremas fue que no es posible que tal sistema formal exista. Al menos, y esto es importante, siempre que sea lo suficientemente rico. Por supuesto, un sistema formal que quiera incluir todos los enunciados de la aritmética es lo suficientemente amplio o rico como para estar afectado por los teoremas gödelianos. El quid de la demostración de Gödel consistió en la posibilidad de formular un enunciado indecidible a partir del propio sistema. Es decir, un enunciado autorreferencial cuya verdad o falsedad no puede ser probada en el marco del sistema formal que sea. En definitiva, lo que se desprende de ambos teoremas es que un modelo basado en axiomas, que sea recursivo y consistente, no puede ser completo pues su propia consistencia no se puede probar dentro del propio modelo.
Respecto al quehacer diario de quienes se dedican a las matemáticas, los teoremas de Gödel apenas suponen una molestia. Basta con despreocuparse de la cuestión, para muchos anecdótica, de la autofundamentación de la matemática para que el resto de investigaciones prosiga sin problema alguno. En el otro lado de la balanza, muchos han extraído diversas consecuencias filosóficas de importante calado. Tal y como algunos autores han denunciado, por ejemplo, Guillermo Martínez y Gustavo Piñeiro, muchas de esas interpretaciones han sido excesivamente libres. Por ejemplo, en los casos de Gilles Deleuze o Jacques Lacan, la aplicación es manifiestamente defectuosa. No obstante, hay otros casos en los que sí existe una mayor controversia acerca de si la apelación a los teoremas de Gödel es pertinente. Uno de ellos fue llevado a cabo por el premio Nobel Roger Penrose, en su obra La nueva mente del emperador, como crítica de las teorías computacionales de la mente. Otro ejemplo procede del célebre físico Stephen Hawking al respecto de la búsqueda de una teoría del todo (ToE) del universo. En lo que queda, nos centraremos en este último caso.
En física teórica, por teoría del todo se entiende una supuesta teoría que consigue unificar las fuerzas fundamentales de la naturaleza. La visión asociada con esta hipótesis podría describirse como la de una meta en la cual el proyecto reduccionista y unificador de la física, iniciado por Maxwell y su descripción de la fuerza electromagnética, llega a su fin. A pesar de su extraordinaria efectividad, la teoría de la relatividad general y la mecánica cuántica son mutuamente incompatibles. La teoría cuántica de campos incorpora elementos relativistas con la notable excepción de la fuerza de la gravedad. Motivo por el cual la gravedad cuántica es el ingrediente principal de una codiciada teoría de campo unificado que acoja en su seno a todas las interacciones fundamentales de la realidad. Desde el propio Einstein, distintos investigadores han tratado de alcanzar esta teoría para la cual, actualmente, hay dos grandes candidatas: alguna teoría de cuerdas o la teoría cuántica de bucles.
La conexión entre los teoremas de Gödel y la hipotética ToE es, para Hawking, obvia: la teoría final del universo tiene que ser un modelo matemático.
Tras dedicarse durante años a la procura de esta teoría final, Stephen Hawking sorprendió al público de una conferencia pronunciada en Cambridge en 2002 (Gödel and the End of Physics) cuando reconoció un cambio de postura. En su momento más álgido, el físico británico afirmó lo siguiente: «Hasta ahora, la mayoría de la gente ha asumido implícitamente que existe una teoría definitiva, que acabaremos descubriendo. De hecho, yo mismo he sugerido que podríamos encontrarla muy pronto. Sin embargo, la teoría M me ha hecho preguntarme si esto es cierto. Tal vez no es posible formular la teoría del universo en un número finito de enunciados. Esto me recuerda mucho al teorema de Gödel. Este dice que cualquier sistema finito de axiomas, no es suficiente para demostrar todo resultado en matemáticas».
La conexión entre los teoremas de Gödel y la hipotética ToE es, para Hawking, obvia: la teoría final del universo tiene que ser un modelo matemático. Como consecuencia, si no es posible formular un sistema matemático completo y consistente, ello implica que tampoco será posible lograr un modelo matemático completo y consistente respecto de la realidad física. El elemento autorreferencial para que se produzca la incompletitud gödeliana se basa, para Hawking, en el siguiente hecho: «no somos ángeles que ven el universo desde fuera. En su lugar, nosotros y nuestros modelos somos parte de la descripción». Cualquier teoría final del universo es autorreferencial, por lo que cualquier formulación matemática que pretenda ser universalmente explicativa está condenada a la incompletitud. Siempre habrá alguna verdad presupuesta y no demostrable desde el marco teórico. A semejanza de Hawking, otros autores, como el físico Freeman Dyson, se han apoyado en Gödel para rechazar la posibilidad de la ToE.[1]
El argumento escéptico de Hawking, inspirado en los teoremas de Gödel, respecto de la ToE es, qué duda cabe, impactante. Máxime cuando se tiene en cuenta que este es un argumento a priori, puramente conceptual, respecto a algo tan empíricamente relevante como la posibilidad de lograr la ToE. Desde luego, es posible averiguar aspectos del universo del que formamos parte desde el sillón de nuestra casa. Por ejemplo, podemos saber con certeza que en ningún lugar ni momento del cosmos existirá agua no compuesta de H2O, así como tampoco un triángulo con más de tres lados.
Recogiendo la expresión de Timothy Williamson, filósofo de la Universidad de Oxford, el “conocimiento de sillón” es un método de conocimiento que nos permite saber cosas sin recurrir a la verificación empírica. Ahora bien, ¿es posible demostrar la imposibilidad de la ToE desde el sillón de nuestra casa? Más en particular, ¿puede ser la física “gödelizada” de tal manera que la imposibilidad de una completitud matemática conlleve una incompletitud física?
El debate está servido entre quienes se sitúan en el escepticismo de la ToE y quienes, por la contra, creen que este no es más que otro uso abusivo de los teoremas de Gödel.
Notas
[1] Es menester mencionar que el primer autor en aplicar los teoremas de Gödel contra la posibilidad de la ToE fue el húngaro Stanley Jaki en el año 1966.
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Fotografía: dialektika
